Определив уровень математических способностей ребенка, вы сможете использовать упражнения, которые помогут ему не только освоить предмет, но и получать удовольствие. Это особенно важно, если в школе на уроках математики нет дифференцированного обучения. Начнем раздел с описания характеристик каждого этапа развития ребенка, которые позволят разобраться, что на данный момент способен усваивать его мозг. Затем для каждого этапа будут приведены соответствующие игры и упражнения, укрепляющие нейронные сети и готовящие ребенка к переходу на следующий уровень развития.
Конечно, вы можете использовать задания более или, наоборот, менее сложные, чем рекомендованные нами, тем не менее старайтесь сильно не отклоняться от предложенных в книге. Ведь если они будут слишком простыми, ребенку станет скучно, а если слишком продвинутыми, он может расстроиться. В любом случае по его готовности выполнять задания вы узнаете, какие из них подходят ему больше всего. Ребенок учится в присущем ему темпе, а вам нужно просто следовать за ним, не отставая и не обгоняя. Помните, что занятия математикой, которые вы проводите вместе с ребенком, должны доставлять удовольствие вам обоим – и тогда время будет проведено с пользой. Но если обучение станет вам в тягость или если вы заметите, что у вас появляется тенденция сосредоточиваться на успехах ребенка и постоянно подталкивать его вперед, вам следует остановиться и, может быть, в течение нескольких дней не проводить занятия, а потом снова вернуться к ним с того места, на котором остановились. Многие из предлагаемых упражнений подходят для всех стилей обучения и для детей с разным уровнем развития математических способностей. В то же время часть из них носит более дифференцированный характер и подходит только для учеников АЛ- или ВПК-типа. Упражнения на формирование понятия о числах (3 года – 6 лет)
Характеристика данного возрастного этапа
• Если ребенок уже умеет считать до десяти, задайте себе вопрос: понимает ли он, что «десять» означает количество? Дайте ребенку девять кубиков и попросите пересчитать их. Затем укажите на кубики и спросите, сколько их. Если ребенок начнет считать, значит, он еще не понимает, что последнее названное им число и является тем, которое обозначает общее количество. У такого ребенка еще не сформировалось понятие о числах.
• Дети могут считать пальчики у себя на руках, но при этом еще не понимать, что такое «число». Они не способны представить, что разница между группой из шести предметов и группой из девяти предметов заключается в разном количестве предметов.
Упражнения (для учеников всех типов)
• Спросите у ребенка, какая чашка с кукурузными хлопьями больше, а какая – меньше. Подберите еще какие-нибудь предметы, чтобы задать тот же вопрос, т. е. чтобы он сделал сравнение, употребляя выражение «больше чем / меньше чем», «больше/ меньше» или «крупнее/мельче».
• Когда ребенок уже научится считать до ста, начинайте использовать предметы, чтобы показать ему на реальном примере, что, к примеру, десять пуговиц одного цвета и типа и десять пуговиц другого цвета и типа – это все равно десять пуговиц. Объясните ему, что число представляет какое-то количество предметов. Например, показывая ребенку кучку сначала из десяти пуговиц, потом из двадцати, а затем из пятидесяти пуговиц, задайте ему вопрос, на что больше похожа вторая кучка: на ту, где десять пуговиц, или на ту, где пятьдесят? Время от времени выполняйте это упражнение, каждый раз вводя более тонкие различия между числами. Например, спросите: на что больше похожа кучка из двадцати пуговиц – на ту, в которой тридцать, или на ту, в которой пятьдесят?
• Во время перерывов для укрепления синапсических связей поиграйте в игру «Угадай мои мысли». Придумайте какое-нибудь число, которое ребенок должен угадать. Пусть он называет разные числа, а вы в ответ говорите только «теплее» или «холоднее». Через некоторое время начинайте заменять эти слова терминами «больше» и «меньше». Такая игра поможет ребенку мысленно установить связь между числами и их последовательностью при подсчете реального количества предметов.
Упражнения для учеников АЛ-типа
• Попробуйте для начала считать так: «Один плюс один равно два» (это упражнение на сложение). Потом спросите у ребенка, на сколько три и один больше, чем три. Покажите ему, как сосчитать до трех, а затем до четырех.
• Поупражняйтесь в счете во время активного отдыха, пока тело и мозг ребенка отдыхают для укрепления синапсических связей. Считайте начиная с единицы, но время от времени пропускайте отдельные числа, а ребенок пусть называет их.
Упражнения для учеников ВПК-типа
• Покажите ребенку группы чисел на реальных примерах, например: у человека две ноги, а у собаки – четыре; у велосипеда два колеса, у детского велосипеда – три, а у автомашины – четыре. Теперь пусть малыш сам подберет или опишет такие группы из других предметов, которые всегда связаны с определенными числами.
• Включите в перерывы для укрепления синапсических связей физические движения. Скажите ребенку: «Посчитай, сколько огромных шагов тебе нужно сделать, чтобы перейти через всю комнату, от одной стены к другой». Поупражнявшись в течение нескольких дней в подсчете шагов, попросите ребенка сначала на глаз определить, сколько шагов ему нужно будет сделать, чтобы дойти от одного конца комнаты до другого. Затем пусть он сравнит предполагаемое количество шагов с реальным. Это поможет ребенку не только развивать навык высказывания предположений, но и научиться выполнять сравнение с заданным образцом.
Упражнения на развитие понятия о числах (4 года – 7 лет)
Особенности данного возрастного этапа
На этом этапе ребенок может не только сосчитать, что в кучке девять кубиков, но и выразить число «девять» другими способами, например показать девять пальцев. Он также знает, что девять больше, чем восемь. Хотя ребенок еще не сможет сказать, сколько будет девять минус три, он уже знает – или, по крайней мере, вполне способен понять, – что результат будет меньше девяти. Ребенок уже может использовать эти понятия в оценках и предположениях, а также объяснить, почему он использует такие выражения, как «по сравнению» и «это больше». Он способен осознать, чем отличается понятие «размер предмета» от понятия «количество предметов».
Упражнения (для учеников всех типов)
• Предлагайте игры, в которых нужно оценивать количество предметов, при этом используйте такие стратегии, как визуализация и высказывание предположений: «Как ты думаешь, сколько здесь пуговиц?» Побуждайте ребенка делать оценку и выносить суждение. Например: «Как ты думаешь, здесь от десяти до тридцати или от шестидесяти до восьмидесяти пуговиц?» Если несколько раз подряд он ответит правильно, вы можете пойти немного дальше и попросить его определить, к чему ближе это число: к пятидесяти или к восьмидесяти?
• Постепенно вводите в игру понятия сложения и вычитания. «Смотри, здесь двадцать пуговиц. Скажи мне или покажи, что бы ты сделал с дополнительными пуговицами, чтобы в результате здесь оказалось не двадцать, а двадцать пять штук».
• Покажите ребенку разницу между количеством и размером. Попросите его сделать четыре шага и в том месте, где он остановится, положить пуговицу (или монету). Затем скажите, чтобы ребенок вернулся к месту старта и сделал восемь шагов, а в том месте, где остановится, положить пуговицу (или монету) большего размера. После нескольких подобных упражнений попросите его высказать предположение, где он мог бы оказаться, если бы сделал три шага, десять шагов и т. д. Пусть отметит эти места, положив пуговицы (или монеты). Затем ребенок должен проверить свои предположения, сделав соответствующее количество шагов и обозначив места, где он оказался, предметами другого цвета или формы. По мере того как ребенок будет высказывать все новые и новые предположения, сопровождая их измерением шагами, отмечайте, как улучшаются его навыки оценивания и как пуговицы (или монеты), отмечающие его реальные шаги, оказываются все ближе и ближе к тем предметам, которыми он отметил расстояния, определенные им на глаз.
• Объясните, что хотя предметы могут быть меньшего или большего размера, их количество будет одним и тем же. Если ребенок в состоянии высказать предположение, пусть даже очень отдаленное, относительно количества пуговиц, перейдите к каким-нибудь другим предметам. Объясните, что количество предметов не зависит от их размера и формы.
Упражнения для детей АЛ-типа
• Предложите ребенку разложить предметы по порядку, расположив их по возрастающей. Используя такие слова, как «маленький», «большой» и «самый большой», попросите его сказать, какое из них лучше всего описывает каждый из предметов.
• Спросите, какие еще слова можно использовать при сравнении количества предметов. Пусть назовет те, которые подходят для сравнения разного количества воды, налитой в три прозрачных стакана. После того как он некоторое время успешно попрактикуется в этом деле, измените характер упражнения. Налейте воду в мерные чашки (сначала они должны быть поставлены по порядку от менее заполненной к более заполненной, а потом – наоборот) и спросите у ребенка, какой цифры достигает жидкость в каждой из них.
• Предложите ребенку сравнить короткое, среднее и длинное слова, которые вы произносите вслух. Пусть произнесет три слова, начиная с самого короткого и заканчивая самым длинным.
Упражнения для детей ВПК-типа
• Попросите ребенка поставить тарелки с разным количеством бобов таким образом, чтобы те, в которых их меньше всего, находились слева, а те, в которых больше всего, – справа (начинайте с трех тарелок).
• Расставив тарелки по порядку от меньшего к большему, пусть ребенок добавит на каждую еще по пять бобов и скажет, должны ли тарелки стоять в том же порядке и почему. На этом этапе он может сказать, почему расположение тарелок должно остаться прежним, но вряд ли сможет объяснить, что добавление равного количества бобов на каждую тарелку не повлияет на их последовательность. Со временем он, конечно же, поймет эту концепцию, которая, в сущности, является основой всех уравнений (т. е. что добавление одного и того же числа к каждому члену уравнения не повлияет на результат).
• Возьмите три тарелки, на которых лежат три, десять и пятнадцать бобов, поставленные по порядку от меньшего к большему. Затем положите на первую тарелку один боб и спросите у ребенка, должно ли расположение тарелок остаться прежним. Постепенно увеличивайте количество плодов на первой тарелке и посмотрите, передвинет ли ее ребенок в середину, когда на ней станет больше бобов, чем на второй. Усложняйте задание, добавляя тарелки и меняя количество плодов, чтобы ребенок мог подумать над этой задачей.
• Выполнив описанные выше упражнения, предложите ребенку нарисовать тарелки с разным количеством бобов расставленными по порядку от большего к меньшему и наоборот и попросите рассказать, что он представлял, когда рисовал их.
Упражнения на формирование концептуального мышления (5–9 лет)
Характеристика данного возрастного этапа
Когда у ребенка формируется концептуальное мышление, он начинает понимать, что означают математические действия. Он выносит свои суждения и делает сравнения, которые может использовать для высказывания предположений. Ребенок уже способен понять, что количество может быть меньше одного и что существуют дробные числа.
Пространственное воображение начинает развиваться параллельно с концептуальным. Ребенок уже способен представить, как перемещаются в пространстве предметы разной формы. Точно так же он может сопоставить точную копию какого-нибудь рисунка с оригиналом, сделать вывод, что они одинаковые, и объяснить почему. Установление соответствий между группами последовательно расположенных предметов также относится к области концептуального мышления, если ребенок может разместить по порядку, например, два разных набора каких-то предметов, а затем определить, какие предметы в одной группе соответствуют предметам в другой.
Ребенка уже вполне можно попросить помочь в сервировке стола. Он должен положить для каждого одну вилку, один нож, одну ложку, поставить тарелку, т. е. сначала закончить с одним прибором, а потом перейти к следующему. Ребенок, у которого уже начало формироваться концептуальное мышление, должен понимать, что для четырех членов семьи ему нужно поставить четыре тарелки, положить четыре вилки, четыре ножа и четыре ложки.
Формирование математического концептуального мышления у каждого ребенка происходит по-разному, поэтому в данном случае возраст не может служить наилучшим показателем уровня развития. Все дело в развитии нейронных сетей, а этот процесс не следует насильственно подталкивать вперед. Если окажется, что ваш ребенок еще не готов к выполнению каких-то упражнений, перейдите к другим видам заданий, а к более сложным вернетесь позже. Возможно, следует начать с какой-нибудь игры, которая, как вы уже знаете, наилучшим образом подходит для вашего ребенка, а уже потом можно будет попробовать что-то другое.
Упражнения для учеников АЛ-типа
Упражнение «Нарисуй то, что я скажу» выполняется во время перерывов для укрепления синапсических связей и особенно нравится ученикам АЛ-типа. Выполняйте его вместе с ребенком. Положите в коробку разные фигуры, вырезанные или сложенные из бумаги. Пусть один из вас дает словесные указания, например нарисовать фигуру, которую второй вытащит из коробки. Так, вынимая из коробки конус, ребенок должен нарисовать равнобедренный треугольник с кругом вместо основания.
При выполнении данного упражнения важно, чтобы вы точно формулировали задачу и давали правильные инструкции, а ребенок четко следовал вашим указаниям. Соблюдение этих условий дает вам возможность получить удовлетворение от того, что смогли донести до ребенка требуемую информацию, а ему – испытать гордость от правильно выполненной работы. Позже вы можете обсудить, что в ваших словесных указаниях было ребенку понятно, а что – нет, и таким образом сделать еще один шаг к формированию у него математических навыков.
Упражнения для учеников ВПК-типа
• Проведите на полу линию и отметьте на ней на равном расстоянии цифры от нуля до десяти. Пусть ребенок дойдет до пяти, считая шаги и глядя на эти цифры. Потом пусть сделает еще один шаг и скажет, на какой цифре он стоит. Если он скажет «шесть», спросите, на какой он будет цифре, если сделает еще один (два, три, четыре) шаг. Делая шаги, пусть смотрит вниз на цифру, чтобы убедиться в правильности ответа.
• После этого можете переходить к упражнениям на вычитание. Когда ребенок дойдет до пяти, предложите ему сделать шаг назад и, не глядя на пол, сказать, на какой цифре он сейчас находится. Постепенно увеличивайте число шагов назад. Когда ребенок осилит это упражнение, попросите его сказать, на какой цифре он находился бы, если бы начал движение с цифры «шесть» (пусть действительно станет на эту отметку) и сделал два шага назад (но при этом пусть не двигается с места, а мысленно представит, как делает два шага назад). Если он скажет, что оказался бы на цифре «четыре», пусть сделает необходимое количество шагов, чтобы проверить, прав ли он. Если предположение будет неверным, вернитесь к предыдущему заданию и попрактикуйтесь еще немного (скажем, несколько дней), прежде чем снова вернуться к упражнению на мысленное решение задачи.
• Продолжайте выполнять эти упражнения в течение нескольких месяцев, предлагая ребенку делать между цифрами равные интервалы, таким образом подготавливая его к освоению умножения.
• Теперь ребенок, возможно, будет готов к выполнению упражнения с использованием отрицательных чисел (хотя этого может и не произойти, если он еще не сделал следующий шаг в развитии концептуального мышления). На линии с положительными цифрами отметьте отрицательные так, чтобы получилась последовательность от десяти отрицательных чисел до десяти положительных. После этого повторите первое упражнение, а затем второе (на предположение), чтобы закрепить материал. Упражнения на развитие концептуального мышления (6-10 лет)
Характеристика данного возрастного этапа
Только после того как ребенок поймет, что, делая шаги вдоль линии от одной цифры к другой, он осваивает такие математические действия, как сложение и вычитание, можно будет считать, что он уже готов перейти к письменным действиям с числами и осознать более сложные математические концепции. Конечно, он может давать правильные ответы и без концептуального понимания, но они будут не осмысленными, а механически заученными, в то время как на концептуальном понимании строятся все дальнейшие математические знания. Говорить о том, что ребенок достиг более высокого уровня концептуального понимания, можно, когда он способен с помощью разных предметов показать, что три плюс четыре будет семь, а если убрать три предмета, то останется четыре. Кроме того, он должен быть в состоянии описать эти действия своими словами.
Упражнения (для учеников всех типов)
• Покажите ребенку, что кладете под перевернутую чашку семь пуговиц. Затем достаньте одну из них и спросите: «Как ты думаешь, сколько пуговиц там осталось?» Если он не сможет дать правильный ответ, вернитесь к упражнениям с предметами, которые находятся у него перед глазами. Через несколько недель снова попробуйте выполнить это задание. Когда ребенок сможет использовать визуализацию, чтобы высказать правильное предположение, или подсчитать и получить правильный ответ, поднимите чашку и покажите ему пуговицы, чтобы он убедился в том, что не ошибся. Если ребенок успешно и уверенно выполняет это задание, постепенно усложняйте упражнение. Не укоряйте ребенка за ошибки, если его предположения или подсчеты оказались неверными.
• Следующий уровень – развитие абстрактного мышления. Замените предметы цифрами. Для начала положите карточки с написанными на них цифрами рядом с пуговицами так, чтобы ребенок видел, например, что цифра «семь» лежит рядом с семью пуговицами, а затем накройте их чашкой. Покажите ему цифру «два» на другой карточке («два» при этом не произносите) и попросите отвернуться, а сами в это время выньте из-под чашки две пуговицы. Теперь спросите, сколько штук останется, если вы уберете такое количество пуговиц. Попросите ребенка вместо того, чтобы называть ответ, найти карточку с нужной цифрой.
• Более сложное задание – записать математическое выражение: 7–2 = 5. Предложите ребенку записать пример на вычитание и предположительный ответ после того, как отнимете несколько пуговиц, вынув их из-под чашки. Научившись составлять математические выражения на основании манипуляций с предметами, он может перейти к их письменному решению, не прибегая к помощи наглядных примеров. Но если ребенку все еще трудно это делать, снова вернитесь к упражнениям с предметами.
Раздел 11
Конечно, вы можете использовать задания более или, наоборот, менее сложные, чем рекомендованные нами, тем не менее старайтесь сильно не отклоняться от предложенных в книге. Ведь если они будут слишком простыми, ребенку станет скучно, а если слишком продвинутыми, он может расстроиться. В любом случае по его готовности выполнять задания вы узнаете, какие из них подходят ему больше всего. Ребенок учится в присущем ему темпе, а вам нужно просто следовать за ним, не отставая и не обгоняя. Помните, что занятия математикой, которые вы проводите вместе с ребенком, должны доставлять удовольствие вам обоим – и тогда время будет проведено с пользой. Но если обучение станет вам в тягость или если вы заметите, что у вас появляется тенденция сосредоточиваться на успехах ребенка и постоянно подталкивать его вперед, вам следует остановиться и, может быть, в течение нескольких дней не проводить занятия, а потом снова вернуться к ним с того места, на котором остановились. Многие из предлагаемых упражнений подходят для всех стилей обучения и для детей с разным уровнем развития математических способностей. В то же время часть из них носит более дифференцированный характер и подходит только для учеников АЛ- или ВПК-типа. Упражнения на формирование понятия о числах (3 года – 6 лет)
Характеристика данного возрастного этапа
• Если ребенок уже умеет считать до десяти, задайте себе вопрос: понимает ли он, что «десять» означает количество? Дайте ребенку девять кубиков и попросите пересчитать их. Затем укажите на кубики и спросите, сколько их. Если ребенок начнет считать, значит, он еще не понимает, что последнее названное им число и является тем, которое обозначает общее количество. У такого ребенка еще не сформировалось понятие о числах.
• Дети могут считать пальчики у себя на руках, но при этом еще не понимать, что такое «число». Они не способны представить, что разница между группой из шести предметов и группой из девяти предметов заключается в разном количестве предметов.
Упражнения (для учеников всех типов)
• Спросите у ребенка, какая чашка с кукурузными хлопьями больше, а какая – меньше. Подберите еще какие-нибудь предметы, чтобы задать тот же вопрос, т. е. чтобы он сделал сравнение, употребляя выражение «больше чем / меньше чем», «больше/ меньше» или «крупнее/мельче».
• Когда ребенок уже научится считать до ста, начинайте использовать предметы, чтобы показать ему на реальном примере, что, к примеру, десять пуговиц одного цвета и типа и десять пуговиц другого цвета и типа – это все равно десять пуговиц. Объясните ему, что число представляет какое-то количество предметов. Например, показывая ребенку кучку сначала из десяти пуговиц, потом из двадцати, а затем из пятидесяти пуговиц, задайте ему вопрос, на что больше похожа вторая кучка: на ту, где десять пуговиц, или на ту, где пятьдесят? Время от времени выполняйте это упражнение, каждый раз вводя более тонкие различия между числами. Например, спросите: на что больше похожа кучка из двадцати пуговиц – на ту, в которой тридцать, или на ту, в которой пятьдесят?
• Во время перерывов для укрепления синапсических связей поиграйте в игру «Угадай мои мысли». Придумайте какое-нибудь число, которое ребенок должен угадать. Пусть он называет разные числа, а вы в ответ говорите только «теплее» или «холоднее». Через некоторое время начинайте заменять эти слова терминами «больше» и «меньше». Такая игра поможет ребенку мысленно установить связь между числами и их последовательностью при подсчете реального количества предметов.
Упражнения для учеников АЛ-типа
• Попробуйте для начала считать так: «Один плюс один равно два» (это упражнение на сложение). Потом спросите у ребенка, на сколько три и один больше, чем три. Покажите ему, как сосчитать до трех, а затем до четырех.
• Поупражняйтесь в счете во время активного отдыха, пока тело и мозг ребенка отдыхают для укрепления синапсических связей. Считайте начиная с единицы, но время от времени пропускайте отдельные числа, а ребенок пусть называет их.
Упражнения для учеников ВПК-типа
• Покажите ребенку группы чисел на реальных примерах, например: у человека две ноги, а у собаки – четыре; у велосипеда два колеса, у детского велосипеда – три, а у автомашины – четыре. Теперь пусть малыш сам подберет или опишет такие группы из других предметов, которые всегда связаны с определенными числами.
• Включите в перерывы для укрепления синапсических связей физические движения. Скажите ребенку: «Посчитай, сколько огромных шагов тебе нужно сделать, чтобы перейти через всю комнату, от одной стены к другой». Поупражнявшись в течение нескольких дней в подсчете шагов, попросите ребенка сначала на глаз определить, сколько шагов ему нужно будет сделать, чтобы дойти от одного конца комнаты до другого. Затем пусть он сравнит предполагаемое количество шагов с реальным. Это поможет ребенку не только развивать навык высказывания предположений, но и научиться выполнять сравнение с заданным образцом.
Упражнения на развитие понятия о числах (4 года – 7 лет)
Особенности данного возрастного этапа
На этом этапе ребенок может не только сосчитать, что в кучке девять кубиков, но и выразить число «девять» другими способами, например показать девять пальцев. Он также знает, что девять больше, чем восемь. Хотя ребенок еще не сможет сказать, сколько будет девять минус три, он уже знает – или, по крайней мере, вполне способен понять, – что результат будет меньше девяти. Ребенок уже может использовать эти понятия в оценках и предположениях, а также объяснить, почему он использует такие выражения, как «по сравнению» и «это больше». Он способен осознать, чем отличается понятие «размер предмета» от понятия «количество предметов».
Упражнения (для учеников всех типов)
• Предлагайте игры, в которых нужно оценивать количество предметов, при этом используйте такие стратегии, как визуализация и высказывание предположений: «Как ты думаешь, сколько здесь пуговиц?» Побуждайте ребенка делать оценку и выносить суждение. Например: «Как ты думаешь, здесь от десяти до тридцати или от шестидесяти до восьмидесяти пуговиц?» Если несколько раз подряд он ответит правильно, вы можете пойти немного дальше и попросить его определить, к чему ближе это число: к пятидесяти или к восьмидесяти?
• Постепенно вводите в игру понятия сложения и вычитания. «Смотри, здесь двадцать пуговиц. Скажи мне или покажи, что бы ты сделал с дополнительными пуговицами, чтобы в результате здесь оказалось не двадцать, а двадцать пять штук».
• Покажите ребенку разницу между количеством и размером. Попросите его сделать четыре шага и в том месте, где он остановится, положить пуговицу (или монету). Затем скажите, чтобы ребенок вернулся к месту старта и сделал восемь шагов, а в том месте, где остановится, положить пуговицу (или монету) большего размера. После нескольких подобных упражнений попросите его высказать предположение, где он мог бы оказаться, если бы сделал три шага, десять шагов и т. д. Пусть отметит эти места, положив пуговицы (или монеты). Затем ребенок должен проверить свои предположения, сделав соответствующее количество шагов и обозначив места, где он оказался, предметами другого цвета или формы. По мере того как ребенок будет высказывать все новые и новые предположения, сопровождая их измерением шагами, отмечайте, как улучшаются его навыки оценивания и как пуговицы (или монеты), отмечающие его реальные шаги, оказываются все ближе и ближе к тем предметам, которыми он отметил расстояния, определенные им на глаз.
• Объясните, что хотя предметы могут быть меньшего или большего размера, их количество будет одним и тем же. Если ребенок в состоянии высказать предположение, пусть даже очень отдаленное, относительно количества пуговиц, перейдите к каким-нибудь другим предметам. Объясните, что количество предметов не зависит от их размера и формы.
Упражнения для детей АЛ-типа
• Предложите ребенку разложить предметы по порядку, расположив их по возрастающей. Используя такие слова, как «маленький», «большой» и «самый большой», попросите его сказать, какое из них лучше всего описывает каждый из предметов.
• Спросите, какие еще слова можно использовать при сравнении количества предметов. Пусть назовет те, которые подходят для сравнения разного количества воды, налитой в три прозрачных стакана. После того как он некоторое время успешно попрактикуется в этом деле, измените характер упражнения. Налейте воду в мерные чашки (сначала они должны быть поставлены по порядку от менее заполненной к более заполненной, а потом – наоборот) и спросите у ребенка, какой цифры достигает жидкость в каждой из них.
• Предложите ребенку сравнить короткое, среднее и длинное слова, которые вы произносите вслух. Пусть произнесет три слова, начиная с самого короткого и заканчивая самым длинным.
Упражнения для детей ВПК-типа
• Попросите ребенка поставить тарелки с разным количеством бобов таким образом, чтобы те, в которых их меньше всего, находились слева, а те, в которых больше всего, – справа (начинайте с трех тарелок).
• Расставив тарелки по порядку от меньшего к большему, пусть ребенок добавит на каждую еще по пять бобов и скажет, должны ли тарелки стоять в том же порядке и почему. На этом этапе он может сказать, почему расположение тарелок должно остаться прежним, но вряд ли сможет объяснить, что добавление равного количества бобов на каждую тарелку не повлияет на их последовательность. Со временем он, конечно же, поймет эту концепцию, которая, в сущности, является основой всех уравнений (т. е. что добавление одного и того же числа к каждому члену уравнения не повлияет на результат).
• Возьмите три тарелки, на которых лежат три, десять и пятнадцать бобов, поставленные по порядку от меньшего к большему. Затем положите на первую тарелку один боб и спросите у ребенка, должно ли расположение тарелок остаться прежним. Постепенно увеличивайте количество плодов на первой тарелке и посмотрите, передвинет ли ее ребенок в середину, когда на ней станет больше бобов, чем на второй. Усложняйте задание, добавляя тарелки и меняя количество плодов, чтобы ребенок мог подумать над этой задачей.
• Выполнив описанные выше упражнения, предложите ребенку нарисовать тарелки с разным количеством бобов расставленными по порядку от большего к меньшему и наоборот и попросите рассказать, что он представлял, когда рисовал их.
Упражнения на формирование концептуального мышления (5–9 лет)
Характеристика данного возрастного этапа
Когда у ребенка формируется концептуальное мышление, он начинает понимать, что означают математические действия. Он выносит свои суждения и делает сравнения, которые может использовать для высказывания предположений. Ребенок уже способен понять, что количество может быть меньше одного и что существуют дробные числа.
Пространственное воображение начинает развиваться параллельно с концептуальным. Ребенок уже способен представить, как перемещаются в пространстве предметы разной формы. Точно так же он может сопоставить точную копию какого-нибудь рисунка с оригиналом, сделать вывод, что они одинаковые, и объяснить почему. Установление соответствий между группами последовательно расположенных предметов также относится к области концептуального мышления, если ребенок может разместить по порядку, например, два разных набора каких-то предметов, а затем определить, какие предметы в одной группе соответствуют предметам в другой.
Ребенка уже вполне можно попросить помочь в сервировке стола. Он должен положить для каждого одну вилку, один нож, одну ложку, поставить тарелку, т. е. сначала закончить с одним прибором, а потом перейти к следующему. Ребенок, у которого уже начало формироваться концептуальное мышление, должен понимать, что для четырех членов семьи ему нужно поставить четыре тарелки, положить четыре вилки, четыре ножа и четыре ложки.
Формирование математического концептуального мышления у каждого ребенка происходит по-разному, поэтому в данном случае возраст не может служить наилучшим показателем уровня развития. Все дело в развитии нейронных сетей, а этот процесс не следует насильственно подталкивать вперед. Если окажется, что ваш ребенок еще не готов к выполнению каких-то упражнений, перейдите к другим видам заданий, а к более сложным вернетесь позже. Возможно, следует начать с какой-нибудь игры, которая, как вы уже знаете, наилучшим образом подходит для вашего ребенка, а уже потом можно будет попробовать что-то другое.
Упражнения для учеников АЛ-типа
Упражнение «Нарисуй то, что я скажу» выполняется во время перерывов для укрепления синапсических связей и особенно нравится ученикам АЛ-типа. Выполняйте его вместе с ребенком. Положите в коробку разные фигуры, вырезанные или сложенные из бумаги. Пусть один из вас дает словесные указания, например нарисовать фигуру, которую второй вытащит из коробки. Так, вынимая из коробки конус, ребенок должен нарисовать равнобедренный треугольник с кругом вместо основания.
При выполнении данного упражнения важно, чтобы вы точно формулировали задачу и давали правильные инструкции, а ребенок четко следовал вашим указаниям. Соблюдение этих условий дает вам возможность получить удовлетворение от того, что смогли донести до ребенка требуемую информацию, а ему – испытать гордость от правильно выполненной работы. Позже вы можете обсудить, что в ваших словесных указаниях было ребенку понятно, а что – нет, и таким образом сделать еще один шаг к формированию у него математических навыков.
Упражнения для учеников ВПК-типа
• Проведите на полу линию и отметьте на ней на равном расстоянии цифры от нуля до десяти. Пусть ребенок дойдет до пяти, считая шаги и глядя на эти цифры. Потом пусть сделает еще один шаг и скажет, на какой цифре он стоит. Если он скажет «шесть», спросите, на какой он будет цифре, если сделает еще один (два, три, четыре) шаг. Делая шаги, пусть смотрит вниз на цифру, чтобы убедиться в правильности ответа.
• После этого можете переходить к упражнениям на вычитание. Когда ребенок дойдет до пяти, предложите ему сделать шаг назад и, не глядя на пол, сказать, на какой цифре он сейчас находится. Постепенно увеличивайте число шагов назад. Когда ребенок осилит это упражнение, попросите его сказать, на какой цифре он находился бы, если бы начал движение с цифры «шесть» (пусть действительно станет на эту отметку) и сделал два шага назад (но при этом пусть не двигается с места, а мысленно представит, как делает два шага назад). Если он скажет, что оказался бы на цифре «четыре», пусть сделает необходимое количество шагов, чтобы проверить, прав ли он. Если предположение будет неверным, вернитесь к предыдущему заданию и попрактикуйтесь еще немного (скажем, несколько дней), прежде чем снова вернуться к упражнению на мысленное решение задачи.
• Продолжайте выполнять эти упражнения в течение нескольких месяцев, предлагая ребенку делать между цифрами равные интервалы, таким образом подготавливая его к освоению умножения.
• Теперь ребенок, возможно, будет готов к выполнению упражнения с использованием отрицательных чисел (хотя этого может и не произойти, если он еще не сделал следующий шаг в развитии концептуального мышления). На линии с положительными цифрами отметьте отрицательные так, чтобы получилась последовательность от десяти отрицательных чисел до десяти положительных. После этого повторите первое упражнение, а затем второе (на предположение), чтобы закрепить материал. Упражнения на развитие концептуального мышления (6-10 лет)
Характеристика данного возрастного этапа
Только после того как ребенок поймет, что, делая шаги вдоль линии от одной цифры к другой, он осваивает такие математические действия, как сложение и вычитание, можно будет считать, что он уже готов перейти к письменным действиям с числами и осознать более сложные математические концепции. Конечно, он может давать правильные ответы и без концептуального понимания, но они будут не осмысленными, а механически заученными, в то время как на концептуальном понимании строятся все дальнейшие математические знания. Говорить о том, что ребенок достиг более высокого уровня концептуального понимания, можно, когда он способен с помощью разных предметов показать, что три плюс четыре будет семь, а если убрать три предмета, то останется четыре. Кроме того, он должен быть в состоянии описать эти действия своими словами.
Упражнения (для учеников всех типов)
• Покажите ребенку, что кладете под перевернутую чашку семь пуговиц. Затем достаньте одну из них и спросите: «Как ты думаешь, сколько пуговиц там осталось?» Если он не сможет дать правильный ответ, вернитесь к упражнениям с предметами, которые находятся у него перед глазами. Через несколько недель снова попробуйте выполнить это задание. Когда ребенок сможет использовать визуализацию, чтобы высказать правильное предположение, или подсчитать и получить правильный ответ, поднимите чашку и покажите ему пуговицы, чтобы он убедился в том, что не ошибся. Если ребенок успешно и уверенно выполняет это задание, постепенно усложняйте упражнение. Не укоряйте ребенка за ошибки, если его предположения или подсчеты оказались неверными.
• Следующий уровень – развитие абстрактного мышления. Замените предметы цифрами. Для начала положите карточки с написанными на них цифрами рядом с пуговицами так, чтобы ребенок видел, например, что цифра «семь» лежит рядом с семью пуговицами, а затем накройте их чашкой. Покажите ему цифру «два» на другой карточке («два» при этом не произносите) и попросите отвернуться, а сами в это время выньте из-под чашки две пуговицы. Теперь спросите, сколько штук останется, если вы уберете такое количество пуговиц. Попросите ребенка вместо того, чтобы называть ответ, найти карточку с нужной цифрой.
• Более сложное задание – записать математическое выражение: 7–2 = 5. Предложите ребенку записать пример на вычитание и предположительный ответ после того, как отнимете несколько пуговиц, вынув их из-под чашки. Научившись составлять математические выражения на основании манипуляций с предметами, он может перейти к их письменному решению, не прибегая к помощи наглядных примеров. Но если ребенку все еще трудно это делать, снова вернитесь к упражнениям с предметами.
Раздел 11