Развитие представления о числах
Пусть ребенок наполнит одинаковые пакеты на молнии разным содержимым (фасолью, орехами, конфетами и т. п.) в таком количестве, чтобы он мог их сосчитать. Доведите вес каждого пакета до 500 граммов, и пусть ребенок сосчитает количество предметов в каждом из них. После этого пусть он составит схему и отобразит в ней результаты своих измерений, указав, сколько предметов каждого вида соответствует 500 граммам. Ребенок может прикрыть цифру, обозначающую количество предметов, листом бумаги, а вы постарайтесь угадать ее. Благодаря выполнению этого задания ребенок поймет, что вес и количество предметов – это не одно и то же.
Понимание чисел
Попросите ребенка определить вес яблока. Положите его на весы, а он пусть назовет соответствующие цифры на шкале. Затем попросите ребенка оценить, сколько еще фруктов нужно положить в пакет, чтобы его вес достиг 2 килограммов. Дети, у которых концептуальный уровень мышления выше, способны оценить, сколько стоит одно яблоко, если пять яблок весят 1 килограмм, а цена за 1 килограмм известна.
Концептуальное мышление на раннем уровне развития
Стоя в очереди в аэропорту, поиграйте с ребенком в такую игру. Пусть он попробует определить вес багажа, принадлежащего людям, стоящим в очереди перед ним. Попросите ребенка объяснить, как он станет использовать показатель веса одного багажа, чтобы предположить, каким будет вес следующего груза. Определение веса жидкостей
Понимание чисел
Сначала ребенок может окрасить воду в большом, наполненном доверху кувшине в свой любимый цвет. Попросите его налить эту воду в 200-миллилитровую чашку, а затем перелить ее в 2-литровую пластиковую бутылку и посмотреть, сколько 200-миллилитровых чашек понадобится для того, чтобы наполнить бутылку. Пусть ребенок выскажет предположение относительно того, сколько всего чашек ему понадобится, чтобы наполнить бутылку, а затем пусть проделает это, чтобы проверить правильность своего предположения.
Концептуальное мышление на раннем этапе развития
Спросите у ребенка, как определить, сколько чашек воды потребуется, чтобы наполнить пустую бутылку. Поставьте рядом с пустой бутылкой кувшин, наполненный водой. Если ребенок начнет переливать воду из кувшина в чашку, а затем из чашки в бутылку, попросите его высказать предположение относительно того, сколько всего чашек потребуется, чтобы наполнить бутылку. Каждый раз, когда ребенок вливает в бутылку еще одну чашку, его оценка меняется – он должен объяснить почему. Пусть ребенок делает заметки относительно того, сколько чашек переливает. Это будет способствовать формированию у него навыков оценивания.
Концептуальное мышление более высокого уровня
Продвинутый вариант этого упражнения может вызвать еще больший интерес, когда вы вместе с ребенком выполняете перевод одних величин в другие, особенно если он относится к категории учеников ВПК-типа. Ребенок может переливать мерной чашкой воду в бутылку. Ему будет интересно производить эти манипуляции, чтобы подсчитать, сколько 200-миллилитровых мерных чашек воды потребуется, чтобы наполнить литровую бутылку. Потом он может попробовать перелить воду из полной литровой бутылки в 800-миллилитровую банку, чтобы на практике убедиться в том, что литр – это немного больше, чем 800 миллилитров.
Вы можете продолжать эти эксперименты, применяя полученные знания на практике. Например, отправившись вместе за покупками, посмотрите, сможет ли он сказать, что вам выгоднее купить: два 300-миллилитровых пакета сока или один литровый по такой же цене.
Измерение окружности
Концептуальное мышление более высокого уровня
Детям, особенно ВПК-типа, проще приобретать навыки оценки в процессе измерения окружностей реальных предметов. Ребенок может записать свое предположение, измерить окружность, зафиксировать эти данные на бумаге, а затем сравнить две цифры. Пусть он после того, как измерит несколько предметов (апельсин, несколько мячей и тарелок разной величины, маленький круглый столик), посмотрит в свой список и подумает: есть ли в его оценках какая-то общая тенденция (к примеру, наблюдается недооценка или переоценка). Как он может сделать свои оценки более точными? Этот метод можно использовать для оценки и измерения периметра других фигур. Сложение и вычитание с отрицательными целыми числами
Концептуальное мышление более высокого уровня
Расположенные в ряд числа помогают детям избавиться от путаницы, которая может возникать при сложении и вычитании отрицательных чисел. Ребенку будет проще понять эту концепцию, глядя, к примеру, на термометр. Помогите ему сделать карточку с числовым рядом. Пусть она лежит на его письменном столе в качестве напоминания. Если ваш ребенок относится к ВПК-типу, напишите числовой ряд на рулоне бумаги, раскатанном на полу, и пусть он переходит от одного числа к другому.
Начните с положительного числового ряда до двадцати. Продвигаясь вверх, измеряйте пространство, занимаемое положительными числами.
Используя числовой ряд, можно изучать сложение (к примеру, перемещая пуговицу или просто переходя на необходимое количество делений).
Затем с другой стороны от нуля создайте отрицательный числовой ряд до минус двадцати. Пусть ребенок пройдет определенное количество цифр от нуля и посмотрит, на какой отметке он находится. Постепенно усложняйте задания, но помните, что они должны соответствовать уровню развития ребенка.
Подводный мир и погода
Ребенку ВПК-типа будет интересно изучать отрицательные числа, если вы свяжете эту тему с подводным миром. Он может представить себя рыбой или аквалангистом, опускающимся, скажем, на глубину трех метров. Спросите, на какой отметке он сейчас находится. А если вашего ребенка интересует такая тема, как погода, пусть использует термометр, чтобы определить, на сколько сегодня упала температура по сравнению со вчерашним днем. Если сейчас 2 градуса выше нуля, а температура падает на 5 градусов, то каким будет новый показатель? Вы можете купить большой термометр и проводить эксперименты, используя горячую и холодную воду. Ребенок, к примеру, может высказать предположение относительно того, на сколько градусов изменится температура при перемещении термометра из емкости с горячей водой в емкость с холодной.
Когда ребенок начнет высказывать более точные предположения, предложите ему определить, на сколько градусов каждый раз будет снижаться температура при добавлении в воду одного за другим нескольких кубиков льда. В будущем, когда ребенок столкнется с трудностями при решении задач на сложение или вычитание отрицательных чисел, он может представить либо сделать набросок термометра или аквалангиста (при этом он будет испытывать то же приятное чувство, какое испытывал, занимаясь с вами). Упражнения на ознакомление с метрической системой мер
Измерьте рост ребенка и запишите его. Дайте ему линейку, и пусть он, прикладывая к ней кончики пальцев, посмотрит, какой из них больше всего соответствует одному сантиметру. Затем предложите ему попытаться найти предмет, длина которого равна 10 сантиметрам, или одному дециметру. Затем пусть выберет предмет, длина которого равна одному метру. У некоторых детей метру будет равно расстояние между кончиками пальцев, когда руки разведены в стороны. Дроби
Большинство детей никак не может понять правила сложения, вычитания, умножения и деления дробей. Часто они не знают, как приводить дроби к общему знаменателю. Не удивляйтесь, если, решая пример 2/3 + 4/5, он будет сначала складывать числители, а потом – знаменатели и в результате получит 6/8. Если дети будут сами открывать математические правила, а не заучивать их, эти ошибки будут встречаться гораздо реже. К тому же преподавателям следует мотивировать учеников к тому, чтобы они проверяли свои решения. Упражнения, направленные на понимание дробей
Мотивируйте ребенка самостоятельно открывать для себя логику математических действий. Поговорите о том, для каких целей они предназначены и как выполняются. Для этого используйте реальные предметы, благодаря которым можно показать, например, что обозначает действие 2/3 + 4/5 и почему результат в этом случае должен быть больше, чем 6/8. Так вы сформируете у ребенка привычку объективно оценивать свои ответы. Помимо этого, умение применять на практике знания из области математики поможет ему в ходе выполнения проверочных работ.
Понимание дробей
Изучая данную тему, необходимо акцентировать внимание ребенка на том, что дробь – это число, состоящее из частей единицы. Поскольку дети в основном уже знакомы с дробью 1/2 (они часто слышат от старших вопросы типа: «Хочешь половину моего бутерброда?», «Можно мне взять половину твоей булочки?»), то после проведения простейших упражнений (сравнение 1/2 стакана воды с целым стаканом воды, 1/2 пирожного и целого пирожного, 1/2 книги [для этого нужно раскрыть ее на середине] со всей книгой) вы можете попросить ребенка обращать внимание на использование дробей в повседневной жизни. Задавайте ему вопросы, в которых будут упоминаться дроби. Например, если он говорит: «Сегодня многие дети заболели», спросите: «Что, отсутствовала половина класса?» Если ребенок ответит: «Нет, меньше», попросите его указать более точное количество отсутствовавших. Скорее всего, он назовет вам число, но вы попросите его использовать дробь: «Ты сказал, что отсутствовало меньше половины класса. Как ты думаешь, не было половины от половины?»
Когда у ребенка сформируется более четкое понимание чисел, вы можете сделать карточки и написать на них дроби 1/2 и 1/4. Он может помещать их на разные вещи в доме, которые заполнены наполовину или на четверть, например на посудомоечную машину или стакан с соком. Ребенку понравится заменять эти карточки каждый раз, когда будет меняться количество содержимого этих емкостей.
Концептуальное мышление на раннем этапе развития
Сделайте одну карточку с цифрой 100 и пять карточек с цифрой 25. Возьмите 100 счетных палочек. Отсчитайте 25 штук и отметьте, что это 1/4. Рядом положите карточку с цифрой 25. Затем разрежьте карточку с цифрой 100 на четыре части и на каждую из них положите по одной карточке с цифрой 25.
Если ваш ребенок любит баскетбол и часто слышит по телевизору, что игра находится в первой четверти, это подтолкнет его к изучению дробей. Когда он помогает вам готовить обед и вы просите налить четверть чашки воды, это тоже хороший повод вспомнить о дробях. А если ребенок любит рисовать, то. возможно, открыв новую коробку с цветными мелками, он сможет определить, какую часть составляют мелки голубого, розового и т. д. цвета.
Концептуальное мышление более высокого уровня
Когда ребенок научится выражать дробью часть от общего количества, спросите у него, есть ли какое-нибудь число, которое больше единицы, но меньше двух. Если концептуальное мышление находится у него еще на раннем этапе развития, то он, несмотря на то что уже знаком с дробями, скорее всего, скажет «нет». Если же уровень концептуального мышления у него более высокий, он ответит: «Да, есть много чисел, которые больше, чем единица, и меньше, чем два. Они называются дробями!»
Когда вы знакомите ребенка с дробями, связывая их с реальной жизнью (объясняя, к примеру, что значит «полпути», «полчетвертого» и «полчаса»), у него возникает стремление поглубже изучить эту тему. Такие занятия развивают математические способности, к тому же они помогут восстановить в памяти понятие дробей, когда ребенок забудет какое-нибудь правило.
Путаница с числителями и знаменателями
Когда мои ученики путают числитель и знаменатель, я беру коробку с шестью цветными мелками и даю по такой же коробке каждой группе, сидящей за одним столом. Сначала дети убеждаются в том, что в коробке шесть мелков, и пишут цифру 6. Я говорю: «У меня в коробке шесть мелков», а затем указываю на мелки и цифру 6 на доске. После этого я вынимаю один мелок и над цифрой 6 пишу 1, а затем провожу между ними горизонтальную линию и предлагаю ученикам сказать, что я сделала, когда взяла из коробки один мелок.
Выполняя это упражнение дома, помогайте ребенку понять, что -1/6 – это дробь, которая показывает, какая часть мелков от общего количества была взята из коробки.
Спросите у ребенка:
• «Как ты думаешь, что в данном случае означает “шесть”?» (Количество мелков в коробке.)
• «Как ты думаешь, что в данном случае означает “один”?» (Количество взятых мелков.)
• «Как ты мог бы расшифровать этот код (использование слова “код” вместо “математическая запись” позволит внести интригу в занятие, заинтересовать ребенка), чтобы показать, какую часть мелков я вынула из коробки?» Рядом с дробью 1/6 можете написать словами «одна шестая» и объяснить: «Это одна из шести частей».
• «Теперь, когда один мелок взят из коробки, как ты мог бы написать математический код для мелков, оставшихся в коробке, где первоначально их было шесть штук?» Сделайте паузу перед словом «шесть», как делали это раньше, применяя метод безошибочного чтения, чтобы ребенок успел сам произнести слово «шесть» до того, как его скажете вы. Запишите 6 в знаменателе и проведите над этой цифрой линию. Ребенку останется заполнить только одно место – числителя, когда он сосчитает пять оставшихся в коробке мелков.
Начиная с этого момента действиями ребенка будет руководить его любознательность; усвоив данную концепцию, он захочет узнать, как записывать другие числители и знаменатели. Как только ребенок поймет, какое число в дроби должно стоять вверху, а какое – внизу, и будет в состоянии своими словами описать, что означает верхняя цифра, а что – нижняя, вы уже можете вводить понятия «смешанная» и «простая дробь». После этого я рассказываю ученикам какую-нибудь историю, чтобы помочь им осознать связь между дробями и делением (понять, что, например, 2/4 означает 2: 4).
Действия с дробями
Попросите ребенка выполнить разные вычисления с одинаковыми цифрами. Например: «Какие числа ты можешь сложить вместе, чтобы получилась дата твоего рождения (или сегодняшняя дата)?» Возможно, он начнет с двух слагаемых, а потом поймет, что можно складывать три, четыре и более целых и дробных чисел. Так он сможет получать один ответ множеством способов.
Ребенку, который уже знаком с дробями, задайте следующий вопрос: «Можно ли умножить два числа и получить произведение, которое будет меньше, чем любое из этих чисел?» Если ребенок скажет: «Нет, когда ты умножаешь, числа всегда становятся больше», вам представляется удобная возможность познакомить его с умножением дробей, поскольку когда перемножаются две дроби с одним и тем же знаком (обе с положительным или обе с отрицательным), произведение всегда получается меньше, чем любой из множителей.
Если ребенок ответит правильно, вы можете задать ему более абстрактный вопрос, например: «Что бы ты предпочел иметь: половину четверти или четверть половины пиццы?» Формулируя вопрос так, как будто у него есть только один правильный ответ (когда на самом деле правильны оба), вы заставляете ребенка думать логически, и рано или поздно у него наступает момент прозрения, когда он вдруг начинает понимать, что 1/4 × 1/2 = 1/2 × 1/4 = 1/8. Чтобы помочь ребенку, нарисуйте пиццу, разделенную на соответствующее количество кусочков. Можете также задать ему этот вопрос, когда на столе перед ним стоит настоящая пицца. Тогда у ребенка активируется мультисенсорная память, и запах, вкус, внешний вид пиццы помогут ему запомнить то, что вы изучали.
Вы будете удивлены тем, сколько благоприятных возможностей, позволяющих изучать деление и умножение дробей, существует вокруг. Вы можете сказать ребенку, какова емкость бака вашего автомобиля. Заправляя его бензином, посмотрите, сможет ли ребенок высказать предположение относительно того, сколько литров покажет счетчик насоса, когда бак будет заполнен наполовину. Ребенок также может подсчитать, сколько километров проходит автомобиль, сжигая один литр бензина, а затем умножить это расстояние на стоимость литра топлива, чтобы узнать, во сколько вам обойдется поездка в какой-то конкретный город.
Если ваш ребенок знаком с музыкальной грамотой, свяжите дроби с длительностью нот, а потом проигрывайте целые, половинные, четвертные и восьмые ноты, связывая их с дробями. Вскоре он поймет, что две восьмые ноты – это то же самое, тго одна четвертная нота.
Десятичные дроби и проценты
Концептуальное мышление на раннем этапе развития
Пусть ребенок наполнит одинаковые пакеты на молнии разным содержимым (фасолью, орехами, конфетами и т. п.) в таком количестве, чтобы он мог их сосчитать. Доведите вес каждого пакета до 500 граммов, и пусть ребенок сосчитает количество предметов в каждом из них. После этого пусть он составит схему и отобразит в ней результаты своих измерений, указав, сколько предметов каждого вида соответствует 500 граммам. Ребенок может прикрыть цифру, обозначающую количество предметов, листом бумаги, а вы постарайтесь угадать ее. Благодаря выполнению этого задания ребенок поймет, что вес и количество предметов – это не одно и то же.
Понимание чисел
Попросите ребенка определить вес яблока. Положите его на весы, а он пусть назовет соответствующие цифры на шкале. Затем попросите ребенка оценить, сколько еще фруктов нужно положить в пакет, чтобы его вес достиг 2 килограммов. Дети, у которых концептуальный уровень мышления выше, способны оценить, сколько стоит одно яблоко, если пять яблок весят 1 килограмм, а цена за 1 килограмм известна.
Концептуальное мышление на раннем уровне развития
Стоя в очереди в аэропорту, поиграйте с ребенком в такую игру. Пусть он попробует определить вес багажа, принадлежащего людям, стоящим в очереди перед ним. Попросите ребенка объяснить, как он станет использовать показатель веса одного багажа, чтобы предположить, каким будет вес следующего груза. Определение веса жидкостей
Понимание чисел
Сначала ребенок может окрасить воду в большом, наполненном доверху кувшине в свой любимый цвет. Попросите его налить эту воду в 200-миллилитровую чашку, а затем перелить ее в 2-литровую пластиковую бутылку и посмотреть, сколько 200-миллилитровых чашек понадобится для того, чтобы наполнить бутылку. Пусть ребенок выскажет предположение относительно того, сколько всего чашек ему понадобится, чтобы наполнить бутылку, а затем пусть проделает это, чтобы проверить правильность своего предположения.
Концептуальное мышление на раннем этапе развития
Спросите у ребенка, как определить, сколько чашек воды потребуется, чтобы наполнить пустую бутылку. Поставьте рядом с пустой бутылкой кувшин, наполненный водой. Если ребенок начнет переливать воду из кувшина в чашку, а затем из чашки в бутылку, попросите его высказать предположение относительно того, сколько всего чашек потребуется, чтобы наполнить бутылку. Каждый раз, когда ребенок вливает в бутылку еще одну чашку, его оценка меняется – он должен объяснить почему. Пусть ребенок делает заметки относительно того, сколько чашек переливает. Это будет способствовать формированию у него навыков оценивания.
Концептуальное мышление более высокого уровня
Продвинутый вариант этого упражнения может вызвать еще больший интерес, когда вы вместе с ребенком выполняете перевод одних величин в другие, особенно если он относится к категории учеников ВПК-типа. Ребенок может переливать мерной чашкой воду в бутылку. Ему будет интересно производить эти манипуляции, чтобы подсчитать, сколько 200-миллилитровых мерных чашек воды потребуется, чтобы наполнить литровую бутылку. Потом он может попробовать перелить воду из полной литровой бутылки в 800-миллилитровую банку, чтобы на практике убедиться в том, что литр – это немного больше, чем 800 миллилитров.
Вы можете продолжать эти эксперименты, применяя полученные знания на практике. Например, отправившись вместе за покупками, посмотрите, сможет ли он сказать, что вам выгоднее купить: два 300-миллилитровых пакета сока или один литровый по такой же цене.
Измерение окружности
Концептуальное мышление более высокого уровня
Детям, особенно ВПК-типа, проще приобретать навыки оценки в процессе измерения окружностей реальных предметов. Ребенок может записать свое предположение, измерить окружность, зафиксировать эти данные на бумаге, а затем сравнить две цифры. Пусть он после того, как измерит несколько предметов (апельсин, несколько мячей и тарелок разной величины, маленький круглый столик), посмотрит в свой список и подумает: есть ли в его оценках какая-то общая тенденция (к примеру, наблюдается недооценка или переоценка). Как он может сделать свои оценки более точными? Этот метод можно использовать для оценки и измерения периметра других фигур. Сложение и вычитание с отрицательными целыми числами
Концептуальное мышление более высокого уровня
Расположенные в ряд числа помогают детям избавиться от путаницы, которая может возникать при сложении и вычитании отрицательных чисел. Ребенку будет проще понять эту концепцию, глядя, к примеру, на термометр. Помогите ему сделать карточку с числовым рядом. Пусть она лежит на его письменном столе в качестве напоминания. Если ваш ребенок относится к ВПК-типу, напишите числовой ряд на рулоне бумаги, раскатанном на полу, и пусть он переходит от одного числа к другому.
Начните с положительного числового ряда до двадцати. Продвигаясь вверх, измеряйте пространство, занимаемое положительными числами.
Используя числовой ряд, можно изучать сложение (к примеру, перемещая пуговицу или просто переходя на необходимое количество делений).
Затем с другой стороны от нуля создайте отрицательный числовой ряд до минус двадцати. Пусть ребенок пройдет определенное количество цифр от нуля и посмотрит, на какой отметке он находится. Постепенно усложняйте задания, но помните, что они должны соответствовать уровню развития ребенка.
Подводный мир и погода
Ребенку ВПК-типа будет интересно изучать отрицательные числа, если вы свяжете эту тему с подводным миром. Он может представить себя рыбой или аквалангистом, опускающимся, скажем, на глубину трех метров. Спросите, на какой отметке он сейчас находится. А если вашего ребенка интересует такая тема, как погода, пусть использует термометр, чтобы определить, на сколько сегодня упала температура по сравнению со вчерашним днем. Если сейчас 2 градуса выше нуля, а температура падает на 5 градусов, то каким будет новый показатель? Вы можете купить большой термометр и проводить эксперименты, используя горячую и холодную воду. Ребенок, к примеру, может высказать предположение относительно того, на сколько градусов изменится температура при перемещении термометра из емкости с горячей водой в емкость с холодной.
Когда ребенок начнет высказывать более точные предположения, предложите ему определить, на сколько градусов каждый раз будет снижаться температура при добавлении в воду одного за другим нескольких кубиков льда. В будущем, когда ребенок столкнется с трудностями при решении задач на сложение или вычитание отрицательных чисел, он может представить либо сделать набросок термометра или аквалангиста (при этом он будет испытывать то же приятное чувство, какое испытывал, занимаясь с вами). Упражнения на ознакомление с метрической системой мер
Измерьте рост ребенка и запишите его. Дайте ему линейку, и пусть он, прикладывая к ней кончики пальцев, посмотрит, какой из них больше всего соответствует одному сантиметру. Затем предложите ему попытаться найти предмет, длина которого равна 10 сантиметрам, или одному дециметру. Затем пусть выберет предмет, длина которого равна одному метру. У некоторых детей метру будет равно расстояние между кончиками пальцев, когда руки разведены в стороны. Дроби
Большинство детей никак не может понять правила сложения, вычитания, умножения и деления дробей. Часто они не знают, как приводить дроби к общему знаменателю. Не удивляйтесь, если, решая пример 2/3 + 4/5, он будет сначала складывать числители, а потом – знаменатели и в результате получит 6/8. Если дети будут сами открывать математические правила, а не заучивать их, эти ошибки будут встречаться гораздо реже. К тому же преподавателям следует мотивировать учеников к тому, чтобы они проверяли свои решения. Упражнения, направленные на понимание дробей
Мотивируйте ребенка самостоятельно открывать для себя логику математических действий. Поговорите о том, для каких целей они предназначены и как выполняются. Для этого используйте реальные предметы, благодаря которым можно показать, например, что обозначает действие 2/3 + 4/5 и почему результат в этом случае должен быть больше, чем 6/8. Так вы сформируете у ребенка привычку объективно оценивать свои ответы. Помимо этого, умение применять на практике знания из области математики поможет ему в ходе выполнения проверочных работ.
Понимание дробей
Изучая данную тему, необходимо акцентировать внимание ребенка на том, что дробь – это число, состоящее из частей единицы. Поскольку дети в основном уже знакомы с дробью 1/2 (они часто слышат от старших вопросы типа: «Хочешь половину моего бутерброда?», «Можно мне взять половину твоей булочки?»), то после проведения простейших упражнений (сравнение 1/2 стакана воды с целым стаканом воды, 1/2 пирожного и целого пирожного, 1/2 книги [для этого нужно раскрыть ее на середине] со всей книгой) вы можете попросить ребенка обращать внимание на использование дробей в повседневной жизни. Задавайте ему вопросы, в которых будут упоминаться дроби. Например, если он говорит: «Сегодня многие дети заболели», спросите: «Что, отсутствовала половина класса?» Если ребенок ответит: «Нет, меньше», попросите его указать более точное количество отсутствовавших. Скорее всего, он назовет вам число, но вы попросите его использовать дробь: «Ты сказал, что отсутствовало меньше половины класса. Как ты думаешь, не было половины от половины?»
Когда у ребенка сформируется более четкое понимание чисел, вы можете сделать карточки и написать на них дроби 1/2 и 1/4. Он может помещать их на разные вещи в доме, которые заполнены наполовину или на четверть, например на посудомоечную машину или стакан с соком. Ребенку понравится заменять эти карточки каждый раз, когда будет меняться количество содержимого этих емкостей.
Концептуальное мышление на раннем этапе развития
Сделайте одну карточку с цифрой 100 и пять карточек с цифрой 25. Возьмите 100 счетных палочек. Отсчитайте 25 штук и отметьте, что это 1/4. Рядом положите карточку с цифрой 25. Затем разрежьте карточку с цифрой 100 на четыре части и на каждую из них положите по одной карточке с цифрой 25.
Если ваш ребенок любит баскетбол и часто слышит по телевизору, что игра находится в первой четверти, это подтолкнет его к изучению дробей. Когда он помогает вам готовить обед и вы просите налить четверть чашки воды, это тоже хороший повод вспомнить о дробях. А если ребенок любит рисовать, то. возможно, открыв новую коробку с цветными мелками, он сможет определить, какую часть составляют мелки голубого, розового и т. д. цвета.
Концептуальное мышление более высокого уровня
Когда ребенок научится выражать дробью часть от общего количества, спросите у него, есть ли какое-нибудь число, которое больше единицы, но меньше двух. Если концептуальное мышление находится у него еще на раннем этапе развития, то он, несмотря на то что уже знаком с дробями, скорее всего, скажет «нет». Если же уровень концептуального мышления у него более высокий, он ответит: «Да, есть много чисел, которые больше, чем единица, и меньше, чем два. Они называются дробями!»
Когда вы знакомите ребенка с дробями, связывая их с реальной жизнью (объясняя, к примеру, что значит «полпути», «полчетвертого» и «полчаса»), у него возникает стремление поглубже изучить эту тему. Такие занятия развивают математические способности, к тому же они помогут восстановить в памяти понятие дробей, когда ребенок забудет какое-нибудь правило.
Путаница с числителями и знаменателями
Когда мои ученики путают числитель и знаменатель, я беру коробку с шестью цветными мелками и даю по такой же коробке каждой группе, сидящей за одним столом. Сначала дети убеждаются в том, что в коробке шесть мелков, и пишут цифру 6. Я говорю: «У меня в коробке шесть мелков», а затем указываю на мелки и цифру 6 на доске. После этого я вынимаю один мелок и над цифрой 6 пишу 1, а затем провожу между ними горизонтальную линию и предлагаю ученикам сказать, что я сделала, когда взяла из коробки один мелок.
Выполняя это упражнение дома, помогайте ребенку понять, что -1/6 – это дробь, которая показывает, какая часть мелков от общего количества была взята из коробки.
Спросите у ребенка:
• «Как ты думаешь, что в данном случае означает “шесть”?» (Количество мелков в коробке.)
• «Как ты думаешь, что в данном случае означает “один”?» (Количество взятых мелков.)
• «Как ты мог бы расшифровать этот код (использование слова “код” вместо “математическая запись” позволит внести интригу в занятие, заинтересовать ребенка), чтобы показать, какую часть мелков я вынула из коробки?» Рядом с дробью 1/6 можете написать словами «одна шестая» и объяснить: «Это одна из шести частей».
• «Теперь, когда один мелок взят из коробки, как ты мог бы написать математический код для мелков, оставшихся в коробке, где первоначально их было шесть штук?» Сделайте паузу перед словом «шесть», как делали это раньше, применяя метод безошибочного чтения, чтобы ребенок успел сам произнести слово «шесть» до того, как его скажете вы. Запишите 6 в знаменателе и проведите над этой цифрой линию. Ребенку останется заполнить только одно место – числителя, когда он сосчитает пять оставшихся в коробке мелков.
Начиная с этого момента действиями ребенка будет руководить его любознательность; усвоив данную концепцию, он захочет узнать, как записывать другие числители и знаменатели. Как только ребенок поймет, какое число в дроби должно стоять вверху, а какое – внизу, и будет в состоянии своими словами описать, что означает верхняя цифра, а что – нижняя, вы уже можете вводить понятия «смешанная» и «простая дробь». После этого я рассказываю ученикам какую-нибудь историю, чтобы помочь им осознать связь между дробями и делением (понять, что, например, 2/4 означает 2: 4).
Действия с дробями
Попросите ребенка выполнить разные вычисления с одинаковыми цифрами. Например: «Какие числа ты можешь сложить вместе, чтобы получилась дата твоего рождения (или сегодняшняя дата)?» Возможно, он начнет с двух слагаемых, а потом поймет, что можно складывать три, четыре и более целых и дробных чисел. Так он сможет получать один ответ множеством способов.
Ребенку, который уже знаком с дробями, задайте следующий вопрос: «Можно ли умножить два числа и получить произведение, которое будет меньше, чем любое из этих чисел?» Если ребенок скажет: «Нет, когда ты умножаешь, числа всегда становятся больше», вам представляется удобная возможность познакомить его с умножением дробей, поскольку когда перемножаются две дроби с одним и тем же знаком (обе с положительным или обе с отрицательным), произведение всегда получается меньше, чем любой из множителей.
Если ребенок ответит правильно, вы можете задать ему более абстрактный вопрос, например: «Что бы ты предпочел иметь: половину четверти или четверть половины пиццы?» Формулируя вопрос так, как будто у него есть только один правильный ответ (когда на самом деле правильны оба), вы заставляете ребенка думать логически, и рано или поздно у него наступает момент прозрения, когда он вдруг начинает понимать, что 1/4 × 1/2 = 1/2 × 1/4 = 1/8. Чтобы помочь ребенку, нарисуйте пиццу, разделенную на соответствующее количество кусочков. Можете также задать ему этот вопрос, когда на столе перед ним стоит настоящая пицца. Тогда у ребенка активируется мультисенсорная память, и запах, вкус, внешний вид пиццы помогут ему запомнить то, что вы изучали.
Вы будете удивлены тем, сколько благоприятных возможностей, позволяющих изучать деление и умножение дробей, существует вокруг. Вы можете сказать ребенку, какова емкость бака вашего автомобиля. Заправляя его бензином, посмотрите, сможет ли ребенок высказать предположение относительно того, сколько литров покажет счетчик насоса, когда бак будет заполнен наполовину. Ребенок также может подсчитать, сколько километров проходит автомобиль, сжигая один литр бензина, а затем умножить это расстояние на стоимость литра топлива, чтобы узнать, во сколько вам обойдется поездка в какой-то конкретный город.
Если ваш ребенок знаком с музыкальной грамотой, свяжите дроби с длительностью нот, а потом проигрывайте целые, половинные, четвертные и восьмые ноты, связывая их с дробями. Вскоре он поймет, что две восьмые ноты – это то же самое, тго одна четвертная нота.
Десятичные дроби и проценты
Концептуальное мышление на раннем этапе развития